飞蛾扑火，竟然隐藏着数学秘密

世界上最神奇的数是什么，这个问题可能会有千奇百怪的答案，就好像一千个人里就有一千个哈姆雷特。大抵每个人都有自己的幸运数字和偏好。

如果问世界上最神奇的方程是什么，那么可能大多数人都会同意，它就是大名鼎鼎的欧拉恒等式。

在这个看起来匪夷所思的等式里，汇集了人类科学史上最重要的五个常数。它们在各自的领域里都是皇冠上的明珠，都代表着人类永攀科学高峰的征程中，留下的里程碑式的成就。

0和1都是有理数，承载着算数王国的基石；虚数i作为虚拟世界的支柱，是代数学的象征；无理数π诠释着几何学的美；e是自然对数的底，则闪烁着分析学的光芒。现代数学的三大分支，代数、几何与分析，都在这个公式里完美而和谐地融合在了一起。

那么，在这个五个数里面，是否就隐藏着这个世界上最神奇的数呢？

没错，这个数就是自然常数e。

历史上，人们把对数的发明、解析几何学的诞生与微积分的创始并称为17世纪数学的三大成就。e作为自然对数的底，从那个时候起，就逐渐崭露头角，发挥越来越重要的作用，为人类文明的跃升保驾护航。

在欧拉恒等式里，0、1和都是生活中处处可见的数字，虚数i则存在于人们的想象之中，只有e似乎最低调，在生活中，大多数人终其一生甚至都不曾见过e的踪影。然而吊诡的是，就是这样一个处处隐姓埋名的无理数，却揭示了宇宙中最深刻的秘密，并且反映了自然界诸多事物发展的底层规律。

其实，e一直在和我们默默地打交道，只是它隐匿得太深，要理解它还需必要的抽丝剥茧。比如，它直接影响着我们的钱包大小。

（图片来源：图虫创意免费版）

理财已经成为现代人必不可少的常识。对于缺乏投资渠道的老百姓，人们更倾向于把钱存入银行。曾几何时，银行以优渥的定期存款利率吸引着大部分的居民存款。

假如某银行一年期的存款利率是100%，我们来看看一年内我们能从银行薅走多少羊毛。如果我们的初始本金是1元，很显然，一年后我们能获得2块钱的收入。

如果我们希望银行半年付一次息，所得利息继续作为本金存入银行，那么一年后我们将获得2.25元的收入。

如果我们希望银行更加慷慨一些，每一个月进行一次利息计算，然后利滚利，一年后我们将获得2.61元的收入。

感谢各种宝宝的出现，我们终于可以实现按天发放利息，并且利滚利，这样算下来，一年后我们将获得2.71456元的收入。

然而，我们的“贪得无厌”总归要有一个天花板，即使银行按分钟、按秒来发放利息，我们一年后最多能获得的收益就是这样一个极限，而这个极限正是e。

当然，现实生活中并没有出现过100%的年化利率。常见的利率也就是在2%-5%之间浮动。如果银行年化利率是4%，那么一年后的收入极限就是e开25次方，一年后的利息收入最多只有4.08%。

从某种角度来说，e就是复利的极限，也是增长的极限。e，就这样悄无声息地为人性的贪婪划定了边界。

令人惊奇的是，它还藏身于古人口口相传的故事里。古人常用“飞蛾扑火”来表达对一部分人自不量力的藐视，也用它来称颂为了爱情而视死如归的恋人。然而，飞蛾扑火的悲剧里也伫立着e的背影。人类对这一现象理解的常见误区，是认为昆虫具有趋光性，因此就容易被火光所吸引，从而自取灭亡。通过对昆虫习性的长期研究，人们才发现，飞蛾扑火仅仅是因为它认为自己是在以正确的路线飞行，而不知道早已深处险境。

（图片来源：图虫创意免费版）

原来，夜晚活动的昆虫为了确保自己的运动方向，通常以月光作为参考。它在漫长的进化中，已经学会了让自己的行动路线和一束平行光线保持固定的角度，这样就能以直线飞行。

月亮与地球的距离过于遥远，每一束到达地球的月光都可以近似看做平行线。虫子就是靠着这亿万年来皎洁的月光为自己导航。不幸的是，当灯光出现以后，它的亮度远远超过月光时，灯光周围的虫子就会把这个最强的光源作为指引它飞行的灯塔。这就为悲剧埋下了种子。

由于每一缕灯光都是从一点发出来，在周围空间呈现辐射状。飞蛾根据进化的习惯，依然保持跟每一缕光线相同的夹角飞行。最后的结果，就是旋转地一圈一圈坠入灯光的中心。飞蛾的飞行曲线被称为斐波拉契螺旋线。它描述的就是一个在辐射状的网格图里，按照和每条辐射线保持固定夹角的曲线模型。

事实上，大自然中到处都有斐波拉契螺旋线的杰作。

海螺的外壳、向日葵的种子、台风的流动、水中的漩涡，包括DNA形成的双螺旋结构，甚至银河系的俯视图，都呈现出这个规律。原因就是它们在生长过程中，始终保持着与辐射线等角度的发展方向，最终就必然形成一种螺旋线的外形。这里面都包含着数字e。唯一的区别，仅仅是e的多少次方不同。在自然界的底层规律上，依然能找到e的踪迹。大自然在各种微观、宏观、生命和非生命体现象中都透露出对e的喜爱。

斐波拉契螺旋线——DNA的双螺旋结构

（图片来源：图虫创意免费版）

斐波拉契螺旋线——海螺的外壳结构

（图片来源：图虫创意免费版）

斐波拉契螺旋线——向日葵的种子排列

（图片来源：图虫创意免费版）

斐波拉契螺旋线——水中的漩涡

（图片来源：图虫创意免费版）

斐波拉契螺旋线——台风的流动规律

（图片来源：图虫创意免费版）

斐波拉契螺旋线——银河系的螺旋臂

（图片来源：图虫创意免费版）

为什么e会成为宇宙中普遍的现象呢？因为绝对的平行在现实中并不存在，只要尺度足够大，很多事物都会以辐射状的形态分布。这种发散的趋势造就了螺旋线的结构。

这样，一个不起眼的常数，却能在小到DNA的双螺旋，大到星系的分布规律中出现。e，因为反映了大自然的底层规律，也因此才被称为自然常数。

不仅如此，e在现代科学中也发挥越来越重大的作用。它的出现连接了三角函数与指数函数，奠定了分析大厦的基础。以e为基础的傅里叶变换成了信息技术的鼻祖，更造就了今日的IT产业。

同时，e在数学、物理、化学、生物、经济学等学科里变得更加举足轻重。

数学家可以用e来轻易计算高位数的高次方根；物理学家可以用e来求解各种揭示宇宙规律的物理方程；化学家用e来进行PH值的计算，来得到对数的浓度图。生物学家用e来描述微生物的生长和细菌的繁殖；经济学家也用e来处理大数据的金融分析。这是一个无处不在的数字。

e不仅重要，而且是唯一的。如果没有这样一个无理数的存在，也许整个宇宙都将不复存在。它以最让人难懂的价值，却肩负着宇宙间所有事物的进展规律。

因此，我们有充分的理由相信，e，就是世界上当之无愧的神奇。

本文由科普中国融合创作出品，黄逸文制作，中国科学院计算机网络信息中心监制，“科普中国”是中国科协携同社会各方利用信息化手段开展科学传播的科学权威品牌

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